UNIDAD 1

Los Fundamentos

Antes de integrar, necesitas entender estas 4 ideas clave

1.1

La Diferencial: Predecir pequeños cambios

Si un helado de 2 cm cuesta $4, y lo haces solo un poquito más grande (2.1 cm)... ¿cuánto más deberías cobrar?

La Historia

Tienes una heladería. El precio depende del tamaño (radio) de la bola:

  • Radio 1 cm → cuesta $1
  • Radio 2 cm → cuesta $4
  • Radio 3 cm → cuesta $9
  • Radio 4 cm → cuesta $16

La fórmula es: Precio = radio²

💡 ¿Podrías saber cuánto cobrar por 3.1 cm sin usar calculadora?
El Truco Matemático

La diferencial te dice: "si cambias un poquito la entrada, ¿cuánto cambia la salida?"

La fórmula mágica:
$$ \text{cambio en precio} \approx \text{derivada} \times \text{cambio en radio} $$

En símbolos: $ dP = P'(r) \cdot dr $

Donde P'(r) es "qué tan rápido crece el precio" en ese punto

¡Pruébalo tú mismo!

Cambia el radio y ve cuánto cambia el precio (sin recalcular todo)

0.10 cm
Precio original $54.00
Cambio aproximado +$5.40 usando diferencial
Cambio real +$5.58 calculando todo
Precisión de la aproximación:
97%
📌 En resumen: La diferencial te permite predecir cambios pequeños de forma rápida y bastante precisa, sin tener que recalcular todo desde cero.
1.2

Análisis de Errores: ¿Qué tan grave es equivocarse?

Mides el radio de una pizza y te equivocas por medio centímetro. ¿Qué tanto te equivocas en el área total?

La Historia

Trabajas en una pizzería y debes calcular cuánto queso poner según el área de cada pizza.

  • Mides el radio: 15 cm
  • Pero tu regla tiene un error de ±0.5 cm
🤔 ¿Qué tanto afecta ese pequeño error al área total? ¿Un poco o mucho?
El Error se Propaga

Los errores pequeños en la medición pueden volverse más grandes (o más pequeños) en el resultado final.

Error absoluto:
$$ \text{Error en área} \approx \text{derivada} \times \text{error en radio} $$
Error porcentual:
$$ \%\text{Error} = \frac{\text{error en resultado}}{\text{resultado}} \times 100 $$
Simulador de Errores

Mueve el slider para ver cómo un error pequeño afecta el resultado

706.9 cm²
±47.1 cm² (±6.7%)
Descubrimiento: Un error del 3.3% en el radio causa un error del 6.7% en el área. ¡El error casi se duplica!
📌 En resumen: El análisis de errores te dice cuánto puedes confiar en tu resultado cuando tus mediciones no son perfectas. Muy útil en ingeniería y ciencias.
1.3

La Notación Sigma (Σ): Sumar sin escribir todo

¿Cómo escribirías "suma los números del 1 al 1000" sin escribir mil números?

La Historia

Tienes una tienda y quieres saber cuánto vendiste en todo el año:

Ene: $120
Feb: $150
Mar: $200
...
Dic: $300

Escribir $120 + $150 + $200 + ... es largo y feo.

✨ ¿No sería genial tener un símbolo que signifique "suma todo esto"?
El Símbolo Σ (Sigma)

Sigma (Σ) es la letra griega que significa "suma":

$$ \sum_{i=1}^{12} \text{ventas}_i $$
"Suma las ventas desde el mes 1 hasta el mes 12"
12 ← hasta dónde llegar
Σ ← "suma de"
i=1 ← desde dónde empezar
Constructor de Sumas

Construye tu propia suma y ve el resultado en tiempo real

$$ \sum_{i=1}^{5} i $$
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5
= 15
📌 En resumen: Σ es solo una forma elegante de escribir "suma muchas cosas". Es la base de la integral, que es básicamente una suma con infinitos términos.
1.4

Áreas Bajo Curvas: El nacimiento de la integral

¿Cómo calculas el área de un terreno que tiene un lado curvo? No es un rectángulo ni un triángulo...

La Historia

Compraste un terreno junto a un río. Un lado es recto, pero el otro lado sigue la curva del río.

💡 La idea genial:
  1. Divide el terreno en franjas verticales
  2. Cada franja es casi un rectángulo
  3. Suma todas las franjas
  4. Mientras más franjas uses, mejor aproximación
Sumas de Riemann

El área se aproxima sumando rectángulos:

$$ \text{Área} \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x $$
"Suma de (altura × ancho) de cada rectángulo"

Donde:

  • $f(x_i)$ = altura del rectángulo
  • $\Delta x$ = ancho de cada franja
  • $n$ = número de rectángulos
Visualizador de Sumas de Riemann

Mueve el slider y observa: más rectángulos = mejor aproximación

4 rectángulos
Área aproximada: 3.750
Área exacta: 2.667
Error: 40.6%
Sube el número de rectángulos y observa cómo el error disminuye
¿Y si usamos infinitos rectángulos?

Cuando $n \to \infty$ (infinitos rectángulos), la aproximación se vuelve exacta. Eso es la integral:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \cdot \Delta x $$

La integral es una suma con infinitos términos infinitamente pequeños

📌 En resumen: Para calcular áreas raras, las dividimos en rectángulos y sumamos. Mientras más rectángulos, mejor. Con infinitos rectángulos, obtenemos la integral.
1.5

La Integral Definida: El área exacta

Ya sabemos aproximar áreas con rectángulos... pero ¿cómo obtenemos el valor EXACTO?

La Historia

Vas en tu auto y el velocímetro marca diferente cada segundo. Al final del viaje quieres saber:

🚗 ¿Cuántos kilómetros recorrí en total?

Si graficas tu velocidad vs tiempo, el área bajo esa curva = distancia total.

Con infinitos "rectángulitos" infinitamente delgados, obtienes la distancia exacta.

La Integral Definida

Cuando usamos infinitos rectángulos, la suma de Riemann se convierte en integral:

$$ \int_a^b f(x) \, dx $$
"El área exacta bajo f(x) desde a hasta b"
∫ = "suma infinita"
a, b = límites (desde, hasta)
f(x) = la función (altura)
dx = "pedacito" de x
Propiedades útiles
$\int_a^a f(x)dx = 0$ Si no hay distancia, no hay área
$\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$ Invertir límites cambia el signo
$\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$ Las constantes salen de la integral
$\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$ Puedes partir el intervalo
Explora los límites de integración

Mueve los límites a y b para ver cómo cambia el área bajo la curva f(x) = x

a = 0
b = 3
$\int_0^3 x \, dx$
=
4.5
📌 En resumen: La integral definida $\int_a^b f(x)dx$ nos da el área EXACTA bajo una curva, entre los puntos a y b. Es como sumar infinitos rectángulos infinitamente delgados.
1.6

Teorema del Valor Medio: El punto "promedio"

Si tu velocidad varió durante todo el viaje... ¿existió algún momento donde ibas exactamente a la velocidad promedio?

La Historia

Hiciste un viaje de 2 horas:

  • Empezaste lento (60 km/h)
  • Aceleraste en la autopista (120 km/h)
  • Frenaste en la ciudad (40 km/h)

Recorriste 150 km en 2 horas.

📊 Tu velocidad promedio fue 75 km/h. ¿En algún momento marcaste exactamente 75 km/h?

¡Sí! El teorema garantiza que existió ese momento.

El Teorema

Si f(x) es continua en [a,b], existe un punto c donde:

$$ f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx $$
"Existe un punto donde la función vale exactamente el promedio"

El valor promedio de f es igual a la altura de un rectángulo que tiene la misma área que la región bajo la curva.

Encuentra el punto promedio

Mueve el slider y observa: el área del rectángulo siempre es igual al área bajo la curva

Límite superior (b): 3
Área bajo la curva:
4.5 u²
Valor promedio f(c):
1.5
Punto c:
1.5

El rectángulo azul tiene la misma área que la región bajo la curva roja.

📌 En resumen: El Teorema del Valor Medio para integrales dice que siempre existe un punto "c" donde la función vale exactamente su promedio. Es como encontrar la altura de un rectángulo que tiene la misma área que la curva.
1.7

Teorema Fundamental del Cálculo: La conexión mágica

Derivar e integrar parecen operaciones muy diferentes... ¿tienen alguna relación secreta?

La Historia

Piensa en esto:

Posición → derivar → Velocidad
Velocidad → integrar → Posición
🔄 ¡Son operaciones INVERSAS! Como sumar y restar.
El Teorema Fundamental

Para calcular una integral definida, solo necesitas:

$$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $$
"Encuentra la antiderivada F, evalúa en los límites y resta"

¿Qué es F(x)? La antiderivada: una función que al derivarla te da f(x).

Ejemplo: Calcular $\int_1^3 2x \, dx$
Queremos resolver: $\displaystyle \int_1^3 2x \, dx$
Antiderivada: $\int 2x \, dx = x^2$ ¿Qué función al derivar da 2x? → x²
Evaluar F(3): $(3)^2 = 9$
Evaluar F(1): $(1)^2 = 1$
F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8
Derivar ↔ Integrar: Operaciones Inversas

Selecciona una función y observa cómo una operación "deshace" a la otra

Empezamos con:
$f(x) = x^2$
Derivar
Obtenemos:
$f'(x) = 2x$
Integrar
Volvemos a:
$\int 2x\,dx = x^2 + C$
📌 En resumen: El Teorema Fundamental conecta la derivada con la integral: son operaciones inversas. Para calcular $\int_a^b f(x)dx$, encuentra la antiderivada F(x) y calcula F(b) - F(a).